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qui coupe la droite K 4 0 4 aux points W, W'. Ce second cercle 
étant relevé autour de WW' dans une position perpendiculaire 
au plan AiA 2 A 3 , est le lieu des sommets des tétraèdres isodyna¬ 
miques construits sur A 4 A 2 A 3 . 
Désignons par P la puissance du tétraèdre A 4 A 2 A 3 A 4 , par p 
et p' celles des quadrangles A 4 A 2 A 3 W, A^A-jW', et par H le 
pied de la hauteur menée par A 4 . Le théorème de Stewart, 
appliqué au triangle A ( WW' et à la ligne A 4 H, donne 
AiW* .HW' + AjW'* .HW = (A t H 2 + HW.HW') WW' . . (lt) 
Mais 
A^ 2 +HW.HW' = A 1 H* -+-A 4 H 2 = A t A 4 2 ; 
donc, si l’on multiplie les deux membres de (11) par A 2 A 3 , on 
obtient 
p 9 . HW' -+- p' 9 .HW = P».WW'.(12) 
L’égalité (12) démontre, de nouveau, que le cercle WaW, 
placé dans un plan perpendiculaire à A 4 A 2 A 3 , est le lieu des 
sommets des tétraèdres isodynamiques construits sur A 4 A 2 A 3 ; 
car le premier membre ne* dépend pas particulièrement du 
point Ai qui a servi à établir la formule. 
Cette formule conduit aisément aux suivantes : 
P 2 —p* p' 2 —P 2 
HW = -— WW', HW' = ■ WW', 
p'*—p 2 p' a —p 2 
(P 2 -p*)(p' 2 -P 2 ) 
A,ll = 
(p' 2 - p 2 ) 2 
WW' , 
WW' T _. 
V = - „ ' - 1 -l/(P 5 - P ! )(P" -P’)- 
o(p 2 -p 8 ) 
La valeur de Y est susceptible de quelques transformations 
plus ou moins curieuses. 
Il existe aussi une relation très simple entre V, R, P (*) : 
24VR = P 2 1 / 5 . 
(*) F.. Catalan, Théorèmes et Problèmes, édition , p. 454. 
Tome XXXVII. 
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