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50. La considération du lieu (A*) nous permet de compléter 
les propriétés du centre isodynamique d'un triangle. 
On sait que le lieu des sommets des cônes de révolution 
construits sur une conique donnée (ellipse ou hyperbole) est 
une seconde conique (hyperbole ou ellipse); les plans de ces 
courbes sont perpendiculaires et les foyers de l'une sont les 
sommets de l’autre (et réciproquement). D’après ce théorème, 
les sommets Z 4 , Z 2 , Z 3 des trois cônes de révolution qui ont 
servi à déterminer le lieu (À 4 ) sont sur une ellipse ayant pour 
foyers les points Z et W. Les côtés rq, a 2 , a z touchent cette 
courbe, car ce sont les bissectrices extérieures des angles ZZjW, 
ZZ 2 W, ZZ 3 W. Par suite, Z et W sont conjugués isogonaux par 
rapport au triangle A,A 2 A 3 et W est le premier centre isodyna¬ 
mique (38). 
Soient z { , z ît z z les intersections des côtés homologues des 
triangles Z,Z 2 Z 3 , A 4 A 2 A 3 . La droite Zz t étant conjuguée harmo¬ 
nique de ZA, par rapport à l’angle Z 2 ZZ 3 est la bissectrice exté¬ 
rieure de cet angle et, par conséquent, perpendiculaire à ZA 4 . 
On déduit de là que la droite z K z^z z est la directrice de l’ellipse 
considérée. 
En résumé : Si X 4 , X 2 , X-, Y 4 , Y 2 , Y 3 sont les sommets des 
triangles équilatéraux construits extérieurement et intérieurement 
sur les côtés d’un triangle A,A 2 A 3 , et que Z h Z 2 , Z 3 désignent les 
points de rencontre de ces côtés avec les droites A 4 X t , A 2 X 2 , A 3 X 3 , 
les dernières droites se coupent au premier centre isogone Z, et les 
lignes Z i Y i , Z 2 Y 2 , Z 3 Y 3 concourent au premier centre isodyna¬ 
mique W. Les points Z et W sont les foyers d’une ellipse touchant 
les côtés de A 4 A 2 x4 3 en Z 4 , Z 2 , Z 3 ; une directrice coïncide avec la 
polaire trilinéaire de Z par rapport au triangle A 4 A 2 A 3 . 
Réciproquement, si les côtés d’un triangle Z 1 Z 2 Z 3 inscrit à une 
rayons A,Z, A 2 Z, A 3 Z, A 4 I t se coupent, deux à deux, sous l’angle de 120°. 
Les trois premières étant fixes, la quatrième enveloppe une cyclide et son 
centre décrit une conique. 
On parvient à des résultats analogues en remplaçant Z par le second centre 
isogone de A,A 2 ^ 5 . 
