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sont proportionnelles aux carrés des arêtes du tétraèdre sont 
en involution. On peut lui donner la forme symétrique 
1 a\ + a\ a\a\ 
1 Q\ H— Cl\(l\ 
1 a\ -+- al a\a% 
= 0 . 
(U) 
Par conséquent, la même égalité suffit pour que les triples de 
points (Vi, v s , v 6 ), (v 2 , v 6l r 4 ), (r 3 , r 4 , v b ) soient également en ligne 
droite. Ainsi : lorsque les carrés des arêtes d’un tétraèdre sont 
proportionnels aux abscisses de six points en involution , les 
points où chaque arête est rencontrée par le plan perpendiculaire 
au milieu de l’arête opposée sont les sommets d’un quadrilatère 
complet. 
De même, lorsque les six côtés d’an quadrangle complet véri¬ 
fient la relation (14), les points où un côté quelconque est ren¬ 
contré par la perpendiculaire au milieu du côté opposé sont les 
sommets d’un quadrilatère complet. 
Ces tétraèdres et ces quadrangles peuvent être appelés invo- 
lutifs. 
» 
53. Considérons un tétraèdre involutif A 4 A 2 A 3 A 4 . Nous don¬ 
nerons le nom de plan d’involution au plan des points v, et 
nous désignerons par sphère v n la sphère qui a pour centre le 
point v n et qui passe par les extrémités de l’arête opposée. 
Les sphères v t1 v u v- 0 , dont les centres sont en ligne droite 
et qui passent par un même point A*, se coupent suivant un 
cercle (3 4 . Tout point de [3 4 est sommet d’un tétraèdre involutif 
construit sur la base A^As et dont le plan d’involution passe 
par la droite vx-Xz- 
De même, les sphères v 3 , e 4 , v 5 passent par un même cercle 
p 3 . Les cercles jâ 8 , (3 4 se rencontrent en deux points A s , A 3 qui 
appartiennent aussi à la sphère r 6 , attendu que les sphères v l , 
v b , v 6 ont pour intersection un cercle et que les deux pre¬ 
mières surfaces contiennent déjà les points A s , Ai. 
Donc les six sphères v se coupent aux deux mêmes points A s , 
Ai qui sont symétriques par rapport au plan d’involution. Ces 
points sont des centres involutifs du tétraèdre A,A 2 A 3 A 4 , et 
