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forment, chacun, avec les points À,, A 2 , A 3 , A 4 un système invo- 
lutif complet : quatre points quelconques d'un système complet tel 
que A,, A 2 , A 3 , A. t , A 5 sont les sommets d’un tétraèdre involutif, 
et les plans d’involution de deux quelconques des cinq tétraèdres 
ainsi obtenus se coupent sur la face commune à ces deux tétraèdres. 
53. La disposition des points v d’un système complet a des 
conséquences très curieuses. Dans les trois tétraèdres A 1 A 2 A 4 A 5 , 
A 2 A 5 A 4 A 5 , A 1 A 3 A i A 5 , les plans perpendiculaires aux milieux 
des arêtes A 2 A 2 , A 2 A 3 , A,A 5 rencontrent l’arête opposée A 4 A 5 au 
même point v ; mais ces plans se coupent aussi suivant l’axe 
du cercle A t A 2 A 3 . Donc dans tout système involutif complet, l’axe 
du cercle qui passe par trois des points s’appuie sur la droite 
qui joint les deux autres points ; les dix points ainsi obtenus sont, 
six à six, les sommets d’un quadrilatère complet. 
D’après cela, dans le tétraèdre involutif A^AjA*, l’axe 00 4 
du cercle A 4 A 2 A 3 s’appuie sur les droites A 4 A 5 , A 4 A 3 ; donc le 
plan du cercle (3 4 qui contient déjà la hauteur A 4 H 4 et la ligne 
A 3 A 3 , passe aussi par 00 4 . Par analogie, la droite A S A 3 ren¬ 
contre également les hauteurs AjIR, A 2 H 2 , A 3 H 3 et les axes 
00i, 00 2 , 00 3 des cercles circonscrits aux faces T*, T 2 , T 3 du 
tétraèdre. On conclut de là que dans tout tétraèdre involutif, 
le centre de la sphère circonscrite et les deux centres involutifs 
sont situés sur une meme génératrice de l’hyperboldide des hau¬ 
teurs ; cette génératrice est perpendiculaire au plan d’involution. 
Réciproquement, si l’hyperboloïde des hauteurs d’un tétraèdre 
passe par le centre de la sphère circonscrite, ce tétraèdre sera 
involutif. 
54. Le plan A,A 2 A 3 coupe les sphères i\, r 2 , r 3 suivant trois 
cercles qui se rencontrent aux deux mêmes points AL A*, 
extrémités d’un diamètre du cercle (3*. La droite A 4 A 4 est évi¬ 
demment perpendiculaire à la droite vfliVs et passe par le 
centre 0 4 du cercle A,A 2 A 3 . Les quadrangles A^AsAL A,A 2 A 3 A 4 
sont involutifs. 
Désignons par Oj, 0 2 , 0 3 les centres des cercles circonscrits 
