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aux triangles A 2 A 3 A], A^AJ, A,A 2 AI. Les côtés du quadrangle 
0 i 0 2 0 3 0 4 sont perpendiculaires aux milieux des côtés du qua¬ 
drangle AiA 2 A 3 AÎ et rencontrent les côtés opposés de ce dernier 
en six points v { , i’ 2 , t> 3 , v' u v’ u v' 6 qui sont, trois à trois, en ligne 
droite. De même que la ligne A 4 O 4 est perpendiculaire à la 
droite de même les lignes A,Oi, A 2 0 2 , A 3 0 3 seront per¬ 
pendiculaires aux droites v{ülv'^ v z v[v[. De plus, puisque 
les côtés homologues des triangles A^A-s, 0 | 0 2 0 3 se coupent 
sur la droite tqi> 2 t> 3 , les droites AiOi, A 2 0 2 , A 3 0 3 concourent en 
un même point 0'; par analogie, les droites AiOj, A 2 0 2 , Ai0 4 
se rencontrent aussi au même point 0 '. 
Donc : dans tout quadrangle involutif, les droites qui joignent 
un sommet au centre du cercle passant par les trois autres som¬ 
mets concourent en un même point. Ces droites sont perpendi¬ 
culaires aux côtés du quadrilatère complet formé par les points v. 
55. Considérons de nouveau un tétraèdre involutif A^AsA*. 
Les pians perpendiculaires aux milieux des arêtes A 4 A,, A 4 A 2 , 
A*A 3 rencontrent le plan A|A 2 A 3 suivant trois droites passant 
par Vi, Vz, v- 0 et formant un triangle C^C-s dont les sommets 
appartiennent aussi aux droites 00*, 00 2 , 00 3 . Les triangles 
AiA 2 A 3 , CjC^A, admettant un axe d’homologie iqi> 2 t> 3 , ont aussi 
un centre d’homologie D 4 . On conclut de là que les plans 
AJÎAO, A 2 HA0, A 3 H 3 0 3 0 se coupent suivant la droite 0D 4 . 
Si l’on répète ces raisonnements pour les autres faces du 
tétraèdre, on verra que les quatre plans AiH|0i, A 2 H 2 0 2 , 
A 3 H 3 0 3 , A 4 H 4 O 4 se coupent, trois à trois, suivant quatre droites 
passant par 0 ; par conséquent ces quatre droites se confon¬ 
dent en une seule s’appuyant sur les hauteurs du tétraèdre, 
et passant par 0 . 
Nous retrouvons ainsi, par une autre voie, une partie des 
résultats du n°53; en même temps, nous avons une signification 
géométrique des points où la droite OA 5 A 3 rencontre les faces 
du tétraèdre. 
56. Etudions maintenant le lieu (A*) des sommets des 
