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58. Passons à la détermination des éléments de cette para¬ 
bole. 
La directrice est la droite ho qui passe par le centre du cercle 
circonscrit au triangle A 4 A 2 A 3 et par le point de concours des 
hauteurs. Car o est le point de concours des hauteurs des 
triangles A { q 2Z q z . u A 2 q-j[ {l , A 3 </ J2 </ 24 formés par trois tangentes 
à la parabole. 
Le foyer F est à l’intersection des circonférences A^AgAs, 
A.u 2 u s , A,</ 2 3</s2, etc. On peut remarquer, en passant, cette élé¬ 
gante proposition : Dans tout triangle A 4 A 2 A 3 , les perpendicu¬ 
laires élevées aux milieux des côtés rencontrent les autres côtés en 
six points q l2 , g 21 , ... tels que les circonférences Aiq 2Z q Zh A 2 q 5l q lz , 
A z q l2 q 2 i se coupent en un même point de la circonférence A,A 2 A 3 . 
La direction des diamètres de (Y) étant connue, le foyer F 
résulte de l’intersection des polaires isogonales, prises relative¬ 
ment aux angles A 4 , A s , A 3 , des perpendiculaires abaissées de 
A, A 2 , A 3 sur la droite ho. Autrement dit, le point F', symé¬ 
trique de F par rapport au point o, a pour polaires isogonales 
des parallèles à ho. 
Cherchons les points p { , p 2 , p z où la parabole touche les 
côtés de A,A. 2 A 3 . Lorsque la droite Y s’approche indéfiniment 
de A 2 A 3 , les points v z , v 2 , ont pour limites A 2 , A 3 , p 4 , et les 
cercles v z , v 2 tendent à se couper aux sommets X 4 , Y* des 
triangles équilatéraux construits sur A* A 3 . Donc la courbe (Ai) 
passe par les sommets X 4 , Y 4 , X 2 , Y 2 , X 3 , Y 3 des triangles équila¬ 
téraux construits sur les côtés du triangle A 4 A 2 A 3 , et les points de 
contact de ces côtés avec la parabole (Y) sont les centres des cercles 
AjXAi, A 2 X 2 \ s , a 3 x 3 \ 3 . 
Yoici encore une proposition assez curieuse, qui se rattache 
à la dernière figure : Le point d’intersection Z des droites A,X,, 
A 2 X 2 , A 3 X 3 , et celui des droites joignant A 4 , A 2 , A, aux centres 
x lt x^ x z des triangles équilatéraux A 2 A 3 X 4 , A 3 A 4 X 2 , A 4 A 2 X z sont 
en ligne droite avec le centre o du cercle A 4 A 2 A 3 . Car les points 
Æ*i, x z sont les centres des cercles A 2 A 3 Z, A 3 AiZ, A 4 A 2 Z; les 
droites A lt r 4 , A*r 2 , A z x z concourant en un même point, le qua¬ 
drilatère A 4 A 2 A 3 Z est involutif. 
