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Nous faisons encore ressortir, à cette occasion, deux autres 
cas particuliers du théorème du n° 54 : 1° Les droites qui 
joignentk { , A 2 , A 5 auxcentres des cercles circonscrits aux triangles 
A 2 hA 3 , A 3 hA,, A,hA 2 se coupent sur la ligne ho au centre du 
cercle des neuf points de A,A 2 A 3 ; 2° les droites joignant A t , A 2 , A 3 
aux centres des cercles circonscrits aux triangles A 2 oA 3 , A 3 oA l5 
A,oA, se rencontrent en un même point (*). 
59 . La parabole (V) admet un autre mode de génération 
très simple. Lorsqu’un point parcourt une droite quelconque 
A, sa polaire trilinéaire enveloppe une conique inscrite au 
triangle fondamental. Si la droite A passe par le centre de 
gravité G du triangle, la conique est tangente à la droite de 
l’infini, polaire de G. 
D’après cela, la parabole (Y) est l’enveloppe de la polaire tri- 
linéaire d’un point parcourant la droite Gk q ui passe par le centre 
de gravité et par le point de Lemoine du triangle AjA 2 A 3 . 
60. L’étude analytique des lieux (A 4 ), (Ai) amène des déve¬ 
loppements intéressants. 
Désignons par [x, y, 2 ), (x„ y„ 2 ,), (x„ y 2 , 2 ,), [x-„ y„ z 3 ) les 
coordonnées des points A 4 , A 1? A 2 , A 3 , et posons 
s {x — x n )*-h(?j — y n )*-h{z — z n )\ (n = 1, 2, 5). 
L’équation (14) prend la forme 
ou 
i a;-h S, a*S 1 
1 fl Ô Sj fl j Sg 
i 1 a*H-S 5 afS 3 
= 0 . 
fl?S 1 P 1 
a\ S â P â 
a|S 3 P 3 = 0, 
(15) 
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{*) La première de ces proposilioDs est connue; voir, par exemple, Catalan. 
Théorèmes et Problèmes, p. 28. La seconde est susceptible d’un autre énoncé, 
si l’on considère comme triangle primitif le triangle HhBjFL formé par les 
tangentes au cercle O en A 2 , A. : les circonférences A s OA 3 , A.OA,, A,0A 2 
passent, respectivement, par B lf B a , B 3 . 
