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Enfin, si l’on divise les équations (6) et (8), membre à membre, 
on obtient 
IA 2 A 3 .IA|A 4 = lAgAj. JA 2 A 4 — IA 1 A 2 .1A 3 A 4 . 
Examinons maintenant les conséquences qu’on peut déduire 
du théorème de M. Hermary. Nous faisons tourner les faces 
Ti, T 2 , T 3 autour de a u eu, a- 0 de manière à écraser la sphère I; 
soient alors U,, U 2 , U 3 les trois rabattements de A 4 sur le plan 
à*A 2 A 3 . Les points I,, I 2 , I 3 viennent coïncider avec ï 4 , et Ton a 
LUj = I 4 U 2 — I 4 U 3 . Le ce que les droites AJ 4 et A 4 I t rencontrent 
l’arête A 2 A 3 au même point, on- peut conclure que les points 
A 4 , I 4 , Ui sont en ligne droite; de même les points (A*, I 4 , U 2 ) 
et (A 3 , I 4 , U 3 ) seront en ligne droite. Mais A,U 2 = A = 
I 4 U 2 — I 4 U 3 ; donc la droite AjULL est perpendiculaire au milieu 
de la ligne U 2 U 3 . Les droites A 2 U 2 I 4 , A 3 U 3 I 4 étant également per¬ 
pendiculaires aux milieux des lignes U 3 U,, U 4 U 2 , le triangle 
U,U 2 U 3 est nécessairement équilatéral, et I 4 est le point d’où 
l’on voit les cotés du triangle A 4 A 2 A 3 sous le même angle 
de 120°. 
Pour résumer ces résultats, nous énoncerons le théorème 
suivant : 
Si les droites qui joignent un sommet d’un tétraèdre au point de 
contact de la face opposée avec la sphère inscrite, concourent en 
un même point : 1° les cosinus des moitiés des dièdres opposés don¬ 
nent des produits égaux; 2° les produits des aires des triangles qui 
ont pour sommet commun le centre de la sphère inscrite et pour 
bases deux arêtes opposées, sont constants; 3° la sphère inscrite 
touche chaque face au point d’où l’on voit les côtés sous des angles 
égaux. 
La dernière propriété est susceptible d’une autre démonstra- 
et observer que, dans les trièdres A t , A 2 : 
sin A 3 A,A 2 sin n 4 sin A 4 A 2 A t sin a, 
. - “ ) ”. T - “ • 
sin A 4 A x A 2 sin a 2 sin A-A^! sm o 5 
On parvient encore liés simplement à la formule (8) en égalant les rapports 
des distances des points I, ou î 2 aux plans T 3 , T 4 
