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S’il s’agit des hauteurs, les droites AjH,, A 2 H 2 étant dans un 
même plan perpendiculaire à A 3 A 4 , les arêtes opposées A,A 2 , 
A 3 A 4 sont rectangulaires. Les lignes AjH 2 , A 2 H, sont perpendi¬ 
culaires à A 3 A 4 en un même point h tel que 
A z h 
A d A,A 3 A,A 4 — A 2 A. A 2 A 4 
donc 
ai 
ai 
a 
a 
Si Ton exprime que les rapports des distances des points H,, H 2 
aux faces T 3 , T 4 sont égaux entre eux, on trouve 
cos a 2 cos a 5 = cos a, cos a 4 . 
Donc : si les hauteurs d’un tétraèdre concourent en un même 
point : 1° les arêtes opposées sont perpendiculaires ; 2° les carrés 
des arêtes opposées donnent des sommes égales; 3° les produits 
des cosinus de deux dièdres opposés sont égaux entre eux. 
H étant le point de concours des hauteurs du tétraèdre, les 
plans HA H„ HA 2 H„ HA 4 H, sont respectivement perpendicu¬ 
laires aux plans HA 2 A 4 , HA 3 A 4 , HA 2 A 3 . Donc, pour que quatre 
droites menées par un même point soient les hauteurs d’un même 
tétraèdre , l’une des droites doit être l’intersection des plans-hau¬ 
teurs du trièdre formé par les trois autres. 
Ces théorèmes sur les hauteurs sont assez connus. 
25. Pour que les droites joignant A 4 , A 2 aux centres Qi, Q* 
des cercles inscrits aux triangles T,, T 2 se coupent, les bissec¬ 
trices AjQ-, A.Q, des angles A 4 A 4 A 3 , A 4 A 2 A 3 doivent rencontrer 
A 3 A 4 au même point; ce qui exige 
A 3 A, A-A 2 
A 4 A, a 4 a 2 
a 2 n h — a v a 
4- 
La même condition exprime aussi que les médianes antiparal¬ 
lèles A,K 2 , A 2 K 4 sont dans un même plan. 
Nous appelons tétraèdre isodynamique (*) celui dans lequel les 
(*) C’est-à-dire : tétraèdre aux produits égaux des arêtes. 
