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Si Ton veut aller plus loin dans la voie des analogies du 
triangle et du tétraèdre, on est tenté d’admettre que les rayons 
JiJn, J 2 J 22 , J 0 J 33 , J 4 J« des sphères exinscrites concourent en 
un même point ou forment, au moins, un quadruple hyper- 
boloïdique. Mais il n’en est pas ainsi : la droite A 4 V qui ren¬ 
contre les trois premiers rayons ne coupe pas le quatrième. 
Pour s’en convaincre, il suffit d’observer que les droites A 4 V, 
A 4 J 4 ne changent pas avec la direction du plan A,A 2 A 3 , de sorte 
que la droite J 4 J 44 n’est pas nécessairement située dans le plan 
AA J 44 ( ). 
La droite A 4 V et les droites analogues des trièdres A,, A 2 , A 3 
ne forment pas non plus un quadruple hyperboloïdique; car 
JjJ M rencontre trois de ces lignes sans s’appuyer sur la qua¬ 
trième. 
Voici la généralisation d’un théorème de Steiner, que 
nous avons annoncée à la fin du n° 6 : Si deux tétraèdres 
AjA 2 A 3 A 4 , MjM 2 M 3 M 4 sont tels que les lignes g h g 2 , g z , menées 
par les sommets du premier perpendiculairement aiex faces du 
second, constituent un quadruple lujperbolo'idique, la même pro¬ 
priété appartient aux lignes g \, t/ 2 , g z , g\ menées par les sommets 
du second tétraèdre perpendiculairement aux faces du premier. 
En effet, les plans (A 4 Aj, g { ), (A 4 A 2 , g«), (A 4 A 3 , g z ) se coupent 
suivant la génératrice du second système qui passe par.A 4 . 
Soient o H S 2 , o 3 les distances d’un point de cette droite aux 
faces du trièdre A 4 AjA 2 A 3 , nous aurons 
«h _ sin (g 5 , T t ) £* _ sin {g t , T a ) 4 _ sin (ÿ 2 , T 5 ) 
^ &m(g 5 ,T 2 )' 4 sin (g t , T 3 )’ sin (gr„ TJ ’ 
d’où : 
sin (g 5 , T t ) sin (g t , T a ) sin (g s , ^ 
sin (g 3 , T a ) sin ( g lf T 3 ) sin (g 2 , T t ) “ 
(*j Comment concilier ces conclusions avec un théorème énoncé par 
Steiner dans les Anna/es de Gergonne, t. XV1ÎI (Gesammelte Werke, t. I, 
p. 224; ? 
