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A : J 33 (*); et si les arcs perpendiculaires sur les côtés de AjA.A-, 
aux points I,, ï 2 , I 3 se rencontrent en un même point I, les arcs 
perpendiculaires sur les mêmes côtés aux points J M , J 22 , J 33 (**) 
se coupent en un même point V. En particulier, les points 
Ii, I 2 , 1 5 peuvent être les points de contact des côtés du triangle 
A 1 A 2 A 5 avec le cercle inscrit; alors les points Jn, J 22 , J 33 seront 
ceux où les côtés sont touchés intérieurement par l'un des 
cercles exinscrits J,, J 2 , J 3 (***). 
La figure sphérique que nous venons de considérer est pré¬ 
cisément celle qui résulte de l’intersection d’une sphère décrite 
du sommet A 4 du tétraèdre A 1 A 2 A 3 A 4 comme centre, avec les 
droites joignant A 4 aux points désignés précédemment dans 
le tétraèdre par les mêmes lettres Aj, A 2 , A 3 , I, Ij, I 2 ,1 3 , Jj, etc. 
il en résulte que les plans AiÂjJfi, A 4 A 2 J 22 , A 4 A 3 J 33 se cou¬ 
pent suivant une même droite. Par conséquent (tî), les droites 
qui joignent un sommet d’un tétraèdre au point de contact inté¬ 
rieur de la face opposée avec une sphère exinscrite sont des géné¬ 
ratrices, d’un même système, d’un hyperboloïde . 
On voit aussi que les plans A 4 J,J lf , A 4 J 2 J 22 , A 4 J 3 J 33 , menés par 
les intersections des bissecteurs extérieurs d’un trièdre A 4 AjA 2 A 3 
perpendiculairement sur les faces de ce trièdre, se coupent suivant 
une même droite A 4 V. 
f) Car 
sin AiJ 22 sin A 2 J 33 .sin A 3 Jn = sin A 2 J][ sin A 3 J 22 .sin A 4 J 33 . 
(**) Pour que ces arcs concourent en un même point, il faut et il sufîit que 
cos A 4 J 22 cos A 3 J 33 cos A 3 J tl = cos A 2 J U cos A J 22 cos AjJ 22 (Sleinor). 
(*** ) De là résulte une seconde démonstration de la propriété que les points 
de contact d’une face d’un tétraèdre avec les sphères tangentes aux quatre 
faces sont, deux à deux, conjugués isogonaux par rapport à cette face. 
Comme en géométrie plane, le pôle I du cercle inscrit au triangle sphé¬ 
rique A 1 A 2 A 3 est le point de concours des hauteurs du triangle J t J 2 J 3 formé 
par les pôles des cercles exinscrits; il est aussi le conjugué isogonal, par 
rapport au triangle J,J 2 I 3 , du point d’intersection V des arcs J^h, J 2 J 22> J 3 J 33 
perpendiculaires aux côtés du triangle orlhocentrique A X A 2 A 3 . Mais le point V 
n’est pas le pôle du cercle circonscrit à J,J a J 5 . 
