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19. Considérons maintenant les droites qui vont d’un 
sommet au point de contact de la face opposée avec la sphère 
inscrite. 
Soit ti Taire des triangles égaux A 2 A 3 I 4 , A 2 A 3 I, ; soient aussi 
t tJ t 0 , ... les aires des triangles analogues qui ont pour base 
« 2 , a 3 , ... (*). Les plans A 4 AJ 4 , A 4 A 2 I 2 , A 4 A 3 I 3 , divisent les arêtes 
a { , a 2 , a- 0 dans les rapports 
_h t _Ç 
U U ^5 
dont le produit égale — 1 ; donc ils se coupent suivant une 
même droite. On déduit de là que les droites AJ,, A 2 I 2 , A 3 I 3 , 
A J 4 constituent un quadruple hyperboloïdique. 
La démonstration précédente rappelle celle que Ton donne 
ordinairement de la proposition analogue sur le triangle. On 
peut aussi s'appuyer sur ce dernier théorème, en observant que 
les traces des plans A 4 AJ,, A 4 A 2 I 2 , A 4 A 3 I 3 sur le plan I,I 2 I 3 sont 
les médianes antiparallèles du triangle I,LI 3 . lin changement 
de notations conduit'alors à la proposition suivante : Les droites 
qui joignent les sommets homologues des tétraèdres AjAaAsA*, 
B,B 2 B 3 B 4 sont des génératrices, d’un même système, d’un hyper- 
boloïde ; les droites qui unissent les sommets du second tétraèdre 
aux points de Lemoine des faces homologues du premier sont des 
'génératrices, du second système, de la même surface. 
80. Les distances des points 1 4 , J 44 aux côtés du triangle 
A,A 2 A 3 sont respectivement 
1 .1 i 
r cot — a,, r côt — a», r cot- a 
C) 1 ’ G) 2 ’ ô) 5 7 
£è Md M+ 
1 t 1 
r 4 laog - c (l , r 4 tang - « 2 , r 4 taug - a.. 
On en conclut que les points 1 4 , J 44 sont conjugués isogonaux 
(*) Les aires t t , ont pour mesure ~ agr cot \ a t , \ a 2 r cot l a 9 ,... li serait 
intéressant d’avoir leurs expressions en fonction des arêtes seules ou en fonc¬ 
tion de r et des dièdres. 
