( 23 ) 
sections antiparallèles des quatre trièdres d'un tétraèdre sont sem¬ 
blables entre elles. 
17. Soient quatre points Q 4 , Q 2 , Q 3 , Q 4 pris respectivement 
dans les faces du tétraèdre A,A 2 A 3 A 4 . Si les droites AjQ,, A 2 Q 2 , 
A3Q3, A 4 Q 4 sont des génératrices, d’un même système, d’un 
hyperboloïde, la génératrice du second système, qui passe par 
A 4 , est située dans les plans A^CL, A 4 A 2 Q 2 , A 4 A 3 Q 3 . Récipro¬ 
quement, si les plans A 4 A,Q,, A 4 A 2 Q 2 , A 4 A 3 Q 3 se coupent sui¬ 
vant une même droite A 4 Qi, celle-ci s’appuie sur AiQ 4 , A 2 Q>, 
A 3 Q 3 ; si, de plus, les sommets A,, A 2 satisfont à des conditions 
analogues, les droites A,Q 4 , A 2 Q 2 , A 3 Q 3 , A 4 Q 4 forment un qua¬ 
druple hyperboloïdique. 
Par exemple, si l’on considère les hauteurs du tétraèdre, les 
plans AiAjH,, A 4 A 2 H 2 , A 4 A 3 H 3 , menés par une arête du 
trièdre A 4 perpendiculairement à la face opposée, se coupent 
suivant une droite; donc les hauteurs d'un tétraèdre forment un 
quadruple hyperboloïdique. (Théorème connu.) 
De même, si Q ri est le centre du cercle inscrit à T ;j , les plans 
A 4 AjQ,, A 4 A 2 Q 2 , A 4 A 3 Q 3 passent par une arête du trièdre A 4 et la 
bissectrice de la face opposée ; donc les droites joignant les som¬ 
mets d'un tétraèdre aux'centres des cercles inscrits aux faces 
opposées constituent un quadruple hyperboloïdique. 
18. Prenons pour le point de Lemoine de T n . Les droites 
A 4 K h A 4 K 2 , A 4 K 3 partagent A 2 A 3 , A 3 A 4 , A 4 A 2 dans les rapports 
dont le produit est égal à — 1 ; donc les plans A 4 A|Ki, A 4 A 2 K 2 , 
A 4 A 3 K 3 , dont les traces sur le plan A 4 A 2 A 3 se coupent en un 
même point, passent par une même droite. Par conséquent, 
les lignes qui joignent un sommet d'un tétraèdre au point de 
Lemoine de la face opposée appartiennent à un même hyperbo¬ 
loïde. 
