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Nous dirons que NiN s N 8 est une section antiparallèle à AiA 2 A 3 
par rapport au trièdre A 4 . Il est évident que le centre de la 
sphère A^NaNs est situé sur la hauteur A 4 H 4 de T. 
Les circonférences A,A 2 A 3 , N,N 2 N 3 sont des sections anti- 
parallèles d’un même cône du second degré dont le sommet 
est A 4 . Si l’on mène les plans tangents le long des arêtes 
A*Ai, A 4 A 2 , A 4 A 3 , 011 forme un trièdre circonscrit tel que les 
plans conduits par les arêtes de ce trièdre et les arêtes oppo¬ 
sées du tétraèdre se coupent suivant la droite A 4 K 4 . Donc la 
droite qui joint un sommet d’un tétraèdre au point de Lemoine de 
la face opposée, passe aussi par le point de Lemoine des sections 
antiparallèles correspondantes . 
Rappelons aussi cette proposition connue (*) que les droites 
AjRj, A 2 B 2 , A 3 B 3 , A 4 B i passent par les centres des sections anti¬ 
parallèles correspondantes du tétraèdre A,A 2 A 3 A 4 . 
Les triangles semblables A 4 AjA 2 et A 4 N 2 N 4 , A 4 A 2 A 3 et A 4 N 3 N 2 
donnent les proportions 
n,n 2 _ a 4 n 2 n 2 n 3 _ a 4 n 2 
O 3 $ 4 Oj U g 
d’où l’on déduit aisément : 
N t N 2 £ N a N, = N g N t 
a i ci i 
Donc les côtés d’une section antiparallèle quelconque sont pro¬ 
portionnels aux produits des arêtes opposées du tétraèdre (**). Les 
(*) E. Catalan, Théorèmes et Problèmes, 6 e édition, p. 401; Rouché et 
de Cosiberousse , Traité de Géométrie, 4 e édition, t. II, p. 224. 
(**) Théorème connu, d’où Von Slaudt a déduit l’expression de R en fonc¬ 
tion des arêïes. Voir, par exemple, Catalan, Théorèmes et Problèmes, p. 452. 
Ce théorème exprime une propriété remarquable de la figure inverse des 
sommets d’un triangle, propriété qu’on peut énoncer ainsi : Etant donné un 
quadrangle quelconque ABCD, les inverses de trois des sommets par rap¬ 
port au quatrième sont les sommets d’un triangle dont les côtés sont pro¬ 
portionnels aux produits des côtés opposés du quadrangle. Nous revien¬ 
drons sur cette proposition intéressante. 
