( 20 ) 
somme des projections de LL,, LL 2 , LL 3 sur MU étant 
nulle, on a 
P t COS -+- P 2 COS >2 -4- ••• -+- P« COS ).n = 0 . . . (4) 
Cette équation représente un plan passant par le point 
cherché L. Développée, elle devient 
x 2 cos a 1 cos -h y 2 cos ^ cosA, + s2 cos y 1 cos cos ). t . 
Multiplions les deux membres par A-Sp,cos\, et posons 
1 i \ 
— Z p, cos = p, — 2 p cos >1 cos a, = x t , — 2 ° cos cos j3 t = y t) ... (5) 
n n n 
Nous aurons ainsi 
xx Y + yy t -f- zz t = p 2 , 
équation du plan polaire du point (x { , y ly z { ) par rapport à 
une certaine sphère. La signification des quantités x { , y h z it p 
résulte des égalités (p) et conduit au théorème suivant : 
D’un, point quelconque M, on abaisse des perpendiculaires 
MM„ MM., ..., MM J2 sur n plans donnés P,, P 2 , ..., P n . Soient 
M' le centre de gravité des points M,, M 2 , ..., M (1 ; M" la projec¬ 
tion de M' sur une droite quelconque MU ; M'" le centre de gravité 
des projections de M" sur les droites MM,, MM-, ..., MM„. Le 
plan polaire de M "'par rapport à la sphère décrite de M comme 
centre avec le rayon MM", passe par un point fixe L qui ne dépend 
que des plans P,, P 2 , ..., P (J . 
Pour simplifier, faisons coïncider MU avec MM' et bornons- 
nous au cas du triangle. Nous aurons alors la proposition que 
voici : 
Soient M,, M,, M 3 les projections d’un point quelconque M sur 
les côtés du triangle A,A 2 A 3 , M' le centre de gravité du triangle 
M,M .M-, et N celui du triangle formé par les projections de M' sur 
les droites MM,, MM 2 , MM 3 . La polaire de N par rapport au cercle 
qui a pour centre M et pour rayon MM' passe constamment par 
le point de Lemoine du triangle A,A 2 A 3 . 
En faisant usage du théorème sur la multiplication des 
