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Cette proposition peut être démontrée a jiriori. En effet, si 
L' n est la projection, sur le plan T n , d’un point quelconque L', 
la définition du point L donne 
LL/ -4- LL/ -h LL/ 4 - LL 4 < L'L; 4- L'Lj, -4- L'L; -4- L'L, ; 
d’où, à plus forte raison, 
LL/ 4- LL/ -i- LL/ LL/ < L L/ -h L'L/ 4- L'L/ 4- L'L/. 
Donc le point L est tel que la somme des carrés de ses dis¬ 
tances aux sommets du tétraèdre est minimum ; par 
suite, il est le centre de gravité de ce tétraèdre (*). 
IX. Soient N,, N 2 , N 3 les points de rencontre des droites 
Ai A,, A 4 A 2 , Ai A 3 avec les plans menés par L parallèlement aux 
faces A4A2A5, A 4 A 3 A|, AjAjAs. Dans le parallélipipède ainsi 
obtenu, la diagonale A 4 L passe par le centre de gravité N du 
triangle NiN 2 N 3 . Les hauteurs du parallélipipède sont égales 
aux distances de L aux faces du trièdre A 4 ou proportion¬ 
nelles à T,, T 2 , T 3 ; en considérant trois expressions diffé¬ 
rentes du volume de ce solide, on obtient les égalités 
A 4 N 8 N 8 . T, = A 4 N 3 N t ,T 2 = A 4 N^ t 2 .T 3 
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A cause de l’analogie de cette relation avec celle qui a lieu 
entre les segments des côtés d’un angle coupé par deux anti¬ 
parallèles, nous dirons que les triangles AiA 2 A 3 et NiN 2 N 3 sont 
des sections antiparallèles, de seconde espèce, du trièdre A 4 . 
(*) Nous empruntons ce raisonnement aux Théorèmes el Problèmes, par 
E. Catalan, 6 e édition, p. 230. On peut l’appliquer à la même question traitée 
pour des plans et des droites en nombre quelconque. 
Un système de n forces concourantes, perpendiculaires aux faces d’un 
polyèdre et proportionnelles à leurs aires, est toujours eu équilibre ( Nou¬ 
velles Annales, 1877, p. 146, et Nouvelle Correspondance, t. IV, p. loO). 
Mais dans le cas de 4, il n’existe pas toujours de point dont les distances 
aux faces du polyèdre soient proportionnelles à ces faces, de sorte que le 
point L doit être déterminé par des considérations différentes (f 5). 
