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aux mêmes plans; 3° les projections de M et N sur ces plans sont 
situées sur une même sphère dont le centre est au milieu de la 
droite MN ; 4° M et N sont les foyers d’une surface de révolution 
du second ordre, inscrite au tétraèdre; 5° la droite qui joint M 
à un sommet du tétraèdre est perpendiculaire au plan qui passe 
par les projections de N sur les faces du trièdre correspondant. 
Soient M 4 , M 2 , M 3 , M* les projections de M sur les faces du 
tétraèdre AiA 2 A-A 4 . Si l’on transporte le tétraèdre MiMgMsM* 
parallèlement à lui-même, la dernière partie du théorème (E) 
conduit à la proposition suivante qui a été signalée pour la 
première fois par Steiner (*) : 
Si les perpendiculaires menées par les sommets d’un tétraèdre 
MiMsMsM* sur les faces homologues d’un autre tétraèdre A,A 2 A 3 A 4 
concourent en un même point, les perpendiculaires abaissées des 
sommets de A,A 2 A 3 A 4 sur les faces de M,M 2 M 3 M 4 jouiront de la 
même propriété. 
Nous donnerons plus loin (**) une généralisation de cette 
proposition. Un cas particulier, qui mériterait un examen plus 
approfondi, est le suivant : Les perpendiculaires abaissées des 
sommets cl’un tétraèdre A,A 2 A 3 A i sur les faces homologues du 
tétraèdre Ü 1 0 2 0 5 0 4 , qui a pour sommets les centres des cercles 
circonscrits aux faces du premier, concourent en un même point 0'. 
V. Les propositions (B) et (E) donnent lieu à deux cas par¬ 
ticuliers remarquables qui correspondent à la parabole et au 
paraboloïde de révolution. 
La droite de l’infini et le cercle AjA 2 A 3 ont pour équations 
l’une de ces lignes est donc la transformée isogonale de l’autre. 
Par conséquent, les polaires isogonales d’un point M de la cir¬ 
conférence circonscrite au triangle A,A 2 A 3 , prises par rapport aux 
angles A,, A 2 , A 3 , sont parallèles entre elles; ces droites sont des 
(*) Journal de Crelle, l. Il, p. 287; Sleiner’s Gesammelte Werke, t. I, p. 155. 
