cordes interceptées par ie cercle sur les côtés sont proportion¬ 
nelles à a\, a\, a\ (*) ; les arcs interceptés par les angles A,, A», A 3 
mesurent le double de l’angle de Brocard (**). 
X. Si par K on mène des antiparallèles aux trois côtés de 
A,A 2 A 3 , les portions de ces lignes comprises dans les angles 
Ai, A 9 , A 3 sont égales, et leurs extrémités sont sur un cercle, 
de centre K. Ces droites étant, deux à deux, les diagonales de 
trois rectangles inscrits à AjA 2 A 3 , K est à l’intersection des 
droites qui joignent les milieux des côtés du triangle aux 
milieux des hauteurs correspondantes. 
XI. Les côtés de tout triangle C,C 2 C 3 homothétique à AiA 2 A 3 
par rapport au point de Lemoine déterminent sur les côtés 
de AiA 2 A 3 six points d’une même circonférence dont le centre 
est sur la droite KO. 
XII. Les côtés de tout triangle D^Ds homothétique à BiB 2 B 3 
par rapport à K rencontrent ceux de A|A 2 A 3 en six points d’une 
même circonférence. 
Les circonférences des théorèmes XI et XII sont identiques 
et comprennent comme cas particuliers celles des théorèmes IX 
et X. 
XIII (***). Soient E,, E 2 , E 3 les projections de K sur les per¬ 
pendiculaires élevées aux milieux des côtés de A,A 2 A 3 : les 
triangles isoscèles A 2 A 3 Ej, A 3 A,E 2 , A 4 A 2 E 3 sont semblables et 
l’angle à la hase est égal à l’angle de Brocard. 
Les triangles AiA 2 A 3 , EiE 2 E 3 sont inversement semblables et 
ont même centre de gravité G. Ils sont triplement homolo- 
giques : les droites A|E 3 , A 2 Ei, A 5 E 2 se coupent au premier point 
de Brocard w; les droites A 2 E 3 , A 3 E,, A,E 2 concourent au second 
point de Brocard m'; enfin, les lignes A^,, A 2 E 2 , A 3 E 3 se ren- 
(*) En raison de cette propriété, M. Tücker, qui avait étudié le cercle de 
Lemoine sans connaître les travaux du géomètre français, avait proposé la 
dénomination de « Triplicate ratio circle » ( Quaterly Journal, vol. XIX et XX; 
Appendix to the Proceedings of the London Mathematical Society, vol. XIV). 
(**) Celte dernière propriété est due à M. Tücker. 
(***) Nous rapportons ici quelques-unes des propriétés des points de 
Brocard, bien que notre Mémoire n’en contienne pas la généralisation. Mais 
nous espérons revenir prochainement sur ces propriétés. 
