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MÉMOIRES. 
nombres, a par exemple, était racine de ladite équation, on 
prendrait un nombre a i , un peu plus grand que a , mais en étant 
suffisamment rapproché pour que l’on soit certain qu’il n’y ait 
pas de racines comprises entre a et a t , et l’on appliquerait les 
considérations qui vont suivre aux deux nombres ai et b. 
Remplaçons dans le polynôme f(x) la variable réelle x par la 
variable complexe x -}- iy, x et y désignant des quantités réelles 
quelconques et i le symbole de l’imaginaire. 
Traçons dans un plan deux axes rectangulaires Ox , O y . 
Sur l’axe Ox prenons en grandeur et en signe : 
OA zz a , OB = b , 
et considérons le rectangle aa'p'p ayant pour côtés, d’une part, 
des parallèles aa', pp' menées respectivement par les points A et 
B à l’axe O y; d’une autre, des parallèles ap, a'p' à l’axe Ox, ces 
dernières parallèles étant à égales distances et infiniment voi¬ 
sines dudit axe Ox. 
Posons : f(oc) — M -f- z'N, M et N désignant des fonctions réelles 
des variables x et y. 
N 
Considérons la fraction —, et, suivant le contour aa'6'S du 
M r r 
rectangle ci-dessus défini, représentons par U le nombre indi- 
N 
quant combien de fois dans le parcours cette fraction — devient 
M 
infinie en passant du signe + au signe —, par b! le nombre 
exprimant combien de fois dans le même parcours cette même 
fraction devient infinie en passant du signe — au signe +. 
D’après la théorie de Cauchy, comme par ailleurs la fonction 
algébrique f(z) ne peut devenir infinie à Tintérieur du rectangle 
ji _ 
aa'P'(3, la fraction —-— mesure le nombre de racines de l’équa¬ 
tion : f(z) — 0 comprises à l’intérieur du rectangle en question. 
Mais, la hauteur aa' du rectangle étant infiniment petite, il n’y 
a à l’intérieur de ce rectangle aucune racine imaginaire de 
l’équation : f(z) ~ 0 puisque l’affixe de toute quantité imaginaire 
se trouve nécessairement à distance finie (et non infiniment pe- 
