LE THÉORÈME DE STURM. 47 
tite) de l’axe Ox. Le rectangle en question ne peut donc contenir 
que des racines réelles de ladite équation : f(z) — 0. 
h _ 
La fraction —-— ci-dessus définie est, par suite, égale au 
nombre des racines réelles de l’équation : f(z) zz 0 contenues 
dans le rectangle aa'(S'P, c’est-à-dire comprises entre les deux 
nombres donnés a et 
Appelons l la valeur absolue des deux ordonnées égales Aa, 
A ?/. 
Pour tous les points de la droite a'p' la variable z est égale à 
x — il , x désignant un nombre réel compris entre a et &, et, 
comme par ailleurs f{z) est algébrique, on a tout le long de 
cette droite : 
f(z) — f(x — il) = f(x) — ilf (x) — ~ r (oc) + 
( _ o*\m 1m 
m étant le degré du polynôme f(z). 
On conclut de là : 
% '**’ ^ • — 
M = f(pc) + R, N = - llf{x) + S] , 
R, S désignant deux fonctions réelles de x , lesquelles sont infi¬ 
niment petites, étant au plus de l’ordre de grandeur de l 2 . 
Le rapport est par conséquent égal à — l ^ , et, 
comme la quantité l est essentiellement positive, ce rapport est 
constamment de même signe que la fraction 
f{œ) + S 
f(x) + R * 
Mais, puisque les fonctions R, S sont infiniment petites, la 
fraction — 1 diffère infiniment peu de la fraction 
f(oc) + R 
