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MÉMOIRES. 
f( œ ) 
-, sauf pourtant pour les valeurs de x qui, annulant la 
fin) 
fonction f(x), rendent infinie (ou indéterminée) cette dernière 
''4 4 f U\ ! " % 
fraction. 
Cela posé, nous distinguerons, pour continuer, deux cas : celui 
oùles deux fonctions f{x ), f'(x) ne s’annulent simultanément 
pour aucune valeur de x comprise entre a et b (auquel cas 
l’équation : f(x) zz 0 n’a que des racines simples entre a et b) et 
celui où ces deux fonctions s’annulent simultanément pour cer¬ 
taines valeurs de x comprises entre a et b (l’équation f(x) — 0 
ayant alors des racines multiples entre a et b). 
III. 
Premier cas. — Les deux fonctions algébriques f(x) et f'{x) 
ne s'annulent pas simultanément entre adb. 
Soit alors x 0 l’une quelconque des racines de l’équation : f(x )=0 
comprises entre a et b. 
fin) 
La fraction 
fin) 
devient infinie pour x zz x 0 et change de 
signe en même temps que son dénominateur f(x) lorsque x varie 
de x 0 — s à x Q -f- s, c désignant une très petite quantité positive 
de grandeur finie. 
Par ailleurs, la somme f{x) + R est constamment infiniment 
peu différente de f{x) ; elle change, par suite, de signe lorsque x 
varie de x 0 — £ à x 0 + e, et, comme cette somme est une fonc¬ 
tion continue, il faut qu’elle s'annule pour une valeur de x com¬ 
prise entre x 0 — £ et x 0 + £. La somme en question ne s’annule 
d’ailleurs qu’une fois dans l’intervalle indiqué (pourvu que la 
quantité finie arbitraire £ soit prise suffisamment petite); si, en 
effet, elle s’annulait deux fois dans cet intervalle, comme elle 
varie d’une manière continue, elle passerait par un maximum 
(ou par un minimum), et, par suite, sa dérivée s’annulerait (théo¬ 
rème de Rolle), ce qui est impossible, cette dérivée étant égale à 
6?R 
f'(x) + — et la fonction finie et continue f(x) étant par hypo- 
