LE THEOREME DE STURM. 
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thèse différente de zéro pour la valeur x =z x 0 et par suite pour 
les valeurs de x très voisines de x 0 . 
De là résulte que dans le cas présent, c’est-à-dire sous la con¬ 
dition formelle que f(x) et f'(oc) ne s’annulent simultanément 
pour aucune valeur de x comprise entre a et b, les deux frac¬ 
tions 
f'(x) f'(pc)+ S 
ont le même nombre d’infinis compris 
f{x) ’ f(x) + R 
entre a et b, que les infinis de l’une sont respectivement infini¬ 
ment voisins des infinis de l’autre et que les variations de signe 
éprouvées par les deux fractions en passant par leurs infinis 
coorrespondants sont les mêmes. 
Convenons maintenant de désigner par le symbole Eab^ç(#)^ 
Y excès de Cauchy pour la fonction quelconque y(x), c’est-à-dire 
la différence entre le nombre de fois où cette fonction devient 
infinie en passant du positif au négatif et le nombre de fois où 
cette même fonction devient infinie en passant du négatif au 
positif lorsque l’affixe de la variable x se déplace sur le segment 
AB de A à B. 
Avec cette notation, on aura, d’après ce qui précède : 
P ( r{x)\_ ( f'{x) + S\ /N\ 
Eab V" m)~ AB v M+i)- E “ r UJ ’ 
E * ,f ' (i) ét; 
N 
étant l’excès de Caucbv pour la fraction — lorsque 
l’affixe de ^ se déplace sur a'p' de cl' à [Y. 
En étudiant de la même manière les variations de la même 
N 
fraction — relative à la fonction f(z) lorsque l’affixe de se 
déplace sur ga de g à a, on trouve, par des calculs calqués sur 
ceux qui précèdent, la relation 
(-M) = E - © • 
les indices BA, ga signifiant en l’espèce que les affixes marchent 
dans le sens de B vers A, de g vers a. 
9 e SÉRIE. — TOME III. 
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