LE THEOREME DE STÜRM. 
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La question est donc ramenée à la recherche d’un moyen per¬ 
mettant de calculer l’excès Eab^Ct— ï\ sans que l’on ait pour 
\f(oc)/ 
cela à résoudre au préalable l’équation : f(oc) — 0. 
Or, ce moyen existe et nous allons l’indiquer. 
Avant tout, convenons, pour simplifier récriture, de supprimer 
sous le symbole E l’indice désormais inutile, et d’écrire par suite 
E CSf) aulieude Eab (tI?) ' 
Considérons la somme 
( 2 ) 
+ E 0H) ■ 
Toutes les fois que la fraction 
fipc) 
devient infinie, la fraction 
inverse tvr-l est nulle; toutes les fois que la fraction 
f'{oc) 
devient infinie, la fraction 
f'(æ) 
f{œ) 
r(x) 
est nulle. Les deux fractions 
Ct —l et -0 —l sont d’ailleurs constamment de mêmes signes, et, 
f{cc) f\x) 
par suite, leurs changements de signe s’effectuent simultanément 
et dans le même sens pour toutes deux. 
La somme en question est donc égale à l’excès du nombre de 
changements de signe de l’une quelconque de ces fractions ^par 
f\oc)\ 
dans le sens du positif au négatif 
exemple de la fraction —7-7 1 
fipc)/ 
sur le nombre de changements de signe de cette même fraction 
dans le sens du négatif au positif lorsque x varie de a à &, les 
changements de signe dont il s’agit devant d’ailleurs être comp¬ 
tés non plus seulement quand cette fraction devient infinie, mais 
aussi quand elle devient nulle. 
La fraction en question ne peut d’ailleurs changer de signe 
qu’en devenant infinie ou nulle. 
D’après cela, si la fraction 
f'{x) 
a le même signe pour x~ b 
