LE THÉORÈME DE STURM. 53 
et, comme Q étant entier ne peut devenir infini, on tire de là : 
y, 
On peut alors opérer sur la fraction —— comme on l’a fait 
f\oc) 
ci-dessus sur la fraction 
f'(x) 
f( 00 ) 
et arriver ainsi à la relation : 
qui est de même forme que la relation ( 3 ) ci-dessus et dans 
laquelle v\ désignent respectivement les nombres (égaux à 0 
ou à + 1 ) de variations que présente la suite f'(x), Y t pour 
x — a et pour x~b. 
Faisant maintenant la division de f'ipc) par V! et désignant 
par V 2 le reste de cette division changé de signe, on établira 
semblablement la relation : 
v 2 , v ' 2 étant respectivement les nombres (égaux à 0 ou à -f- 1 ) 
de variations que présente la suite Y t , V 2 pour x — a et pour 
x — b. 
En continuant à opérer toujours de la même façon, comme les 
degrés des restes des divisions successives diminuent à chaque 
fois, on arrivera nécessairement au bout d’un nombre limité de 
divisions à un reste constant : — Y r . Si l’on désigne alors par 
— Y r —2, —V,. —i les restes des deux divisions précédant celle 
qui donne le reste — V,-, la dernière relation que l’on aura à 
écrire sera : 
( 6 ) 
