MÉMOIRES. 
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v r , v'r désignant respectivement les nombres (égaux à 0 ou à 
-f 1 ) que présente la suite V r — î, Vr pour xzz a et pour X — b. 
y r _i 
Mais, Y,, étant constant, la fraction —— ne peut jamais de- 
V r 
venir infinie, et, par conséquent, l’on a 
la relation ( 6 ) s’écrit donc simplement : 
( 7 ) E (^^) = Vr — V'r ■ 
En ajoutant alors membres à membres les relations ( 1 ), ( 3 ), 
( 4 ), ( 5 ), ( 7 ), ainsi que les relations intermédiaires entre ( 5 ) et ( 7 ) 
obtenues dans les divisions successivement faites, il vient, en 
supprimant les termes communs aux deux membres de l’équation 
résultant de cette addition, 
71 ZZ V “J- V l ~j~ ^2 “h • • • Vr - (v' -f* V 'i -J” V 2 • • • "j - V'r). 
Le nombre n de racines réelles de l’équation f{oc) = 0 com¬ 
prises entre les deux nombres réels, positifs ou négatifs, quel¬ 
conques, est, par suite, égal à la différence des nombres de 
variations que présente la suite des valeurs des fonctions 
f'(oc), Y 1? V 2 ... Vr —1, Vr, 
pour x := a et pour x — b, autrement dit au nombre de va¬ 
riations perdues par cette suite lorsque x varie de a à b. 
C’est bien là l’énoncé du théorème de Sturm. 
— Passons maintenant à l’examen du cas où les deux fonctions 
algébriques f(x) et f'(x) s’annuleraient simultanément pour cer¬ 
taines valeurs de x comprises entre les nombres donnés a et b. 
