LE THÉORÈME DE STURM. 
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IV. 
Deuxième cas. — Les deux fonctions algébriques f{x) et 
f'{x) s’annulent simultanément pour certaines valeurs de x 
comprises entre les nombres ae/b. 
Les valeurs x 0 de x qui annulent ainsi simultanément les 
fonctions f(x), f'{x) sont, comme on sait, des racines multiples 
de l’équation f(x) — 0. 
Nous devons faire tout d’abord une remarque importante. 
Considérons l’équation (1) obtenue, page 9 ci-dessus, dans 
l’étude du premier cas : 
Pour que cette équation soit exacte, il faut évidemment que, 
si l’on désigne par x 0 une quelconque des racines (simples) de 
l’équation f(x) — 0 comprises entre a et b et par e une petite 
f'(x) 
quantité positive arbitraire, la fraction : — passe toujours du 
positif au négatif quand x varie de x 0 — £ à x 0 + s; car si le 
changement de signe de cette fraction se faisait en sens inverse 
pour h racines de l’équation f(x) = 0, h étant un entier positif 
quelconque plus petit que n ou égal à n, cette circonstance 
détruirait dans le calcul de l’excès Eab 
l 
' f{cc)) 
l’effet de h 
changements de signe dans le sens du positif au négatif, en sorte 
que ledit excès serait égal non pas à n, mais à n — 2 h. 
De là résulte que, dans le cas où l’équation : f{x) ~ 0 n’admet 
que des racines simples entre a et b , les deux fonctions f(x) et 
f(x) sont toujours de signes contraires pour les valeurs de x 
qui sont un peu plus petites que les racines x 0 de l’équation 
f(x) ~ 0 et toujours de mêmes signes pour les valeurs de x un 
peu supérieures à ces mêmes racines x Q . 
