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MÉMOIRES. 
On retrouve donc ainsi un fait bien connu de l’algèbre élémen¬ 
taire. 
Ce que nous voulons faire remarquer ici, c’est que le fait en 
question a lieu aussi bien quand x 0 est racine multiple de l’équa¬ 
tion : f(x) =r0 que lorsque cette valeur x 0 est racine simple de 
ladite équation. Le raisonnement présenté pour établir ce fait en 
algèbre élémentaire s’applique en effet aussi bien à un cas qu’à 
l’autre. 
Or, de cette remarque, il résulte que toute racine cr 0 de l’équa¬ 
tion : f(x) — 0 existant entre les deux nombres donnés a et b a 
pour effet d’introduire une unité, mais une unité seulement, 
^ . Cet excès, qui serait nul si aucune 
racine de l’équation : f(x) — 0 n’existait entre a et b, est, par 
suite, toujours égal au nombre des racines x 0 de ladite équation 
comprise entre a et b, chaque racine distincte étant comptée une 
seule fois alors même qu’elle serait multiple. 
Par ailleurs, le calcul de l’excès 
se fait dans 
le cas présentement examiné des racines multiples en suivant la 
méthode exposée, pages 10-13 ci-dessus, pour le cas des racines 
simples. Seulement, lorsque l’équation : f(x) zzO possède des 
racines multiples, il arrive qu’en faisant les divisions successives 
auxquelles conduit l’application de ladite méthode, on parvient 
nécessairement à une division qui s’effectue exactement ; et c’est 
même à cette particularité, on le sait, que l’on reconnaît l’exis¬ 
tence de racines multiples de l’équation : f(x) =0. Le diviseur 
Y g de cette division qui donne un reste nul est alors le plus 
grand commun diviseur algébrique des deux polynômes f[x) et 
Or, entre le diviseur Y q et le reste Y ÿ _i changé de signe de 
la division précédant de deux rangs la dernière, il existe la 
relation 
Yq —1 - YqQq, 
Qq étant le quotient de V?i par Yq . 
