LE THÉORÈME DE STURM. 
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On en conclut 
e (V) = e(q " )=o ’ 
puisque Q q par sa définition même est un polynôme entier. 
En tenant compte de ce résultat et ajoutant ensemble, comme 
on l’a fait page 13 ci-dessus, les relations (1), (3), (4), (5) et les 
relations subséquentes analogues, lesquelles sont exactement les 
mêmes dans le cas des racines multiples que dans le cas des 
racines simples, on reconnaît immédiatement que l’excès 
est égal à la différence des nombres de variations que présente 
la suite des valeurs des fonctions : 
( 8 ) 
pour x — a e t pour x~ Je. 
Le nombre des racines de Véquation : f{x) =z 0 comprises 
entre les deux nombres donnés quelconques aelb (chacune 
des racines distinctes étant comptée pour une seule racine 
aussi bien quand cette racine est multiple que quand elle est 
simple) est donc égal au nombre de variations perdues par 
la suite des fonctions (8) lorsque x varie de a à b. 
C’est là l’énoncé du théorème de Sturm lorsque l’équation 
f(x) =:0 possède des racines multiples. 
Le théorème de Sturm se trouve ainsi établi dans tous les cas. 
