DE LA THÉORIE DES COURBES GAUCHES. 129 
Ceci fait, la courbe demandée (O) sera la transformée de L après 
la formation de la développable. 
Le problème a évidemment deux solutions qui fournissent 
deux courbes symétriques, et n’en a pas d'ailleurs davantage. 
Ces solutions correspondent aux deux sens dans lesquels on peut 
effectuer les rotations qui permettent de constituer la dévelop¬ 
pable de Lancret. 
La proposition dont nous venons de présenter une démonstra¬ 
tion géométrique a de nombreuses conséquences. Je me bornerai 
à en déduire la suivante : 
II y a une infinité de courbes gauches four lesquelles il 
existe une relation donnée entre la courbure et la torsion, et 
leur définition générale comporte une fonction arbitraire de 
l'arc s. 
Car en se donnant arbitrairement en fonction de s, soit la 
courbure, soit la torsion, la relation donnée permettra de déter¬ 
miner à la fois ç et t, en sorte que l’on se trouvera placé dans 
les conditions du théorème démontré précédemment. 
9 . Au point de vue analytique, la recherche de la courbe dont 
les rayons de courbure et de torsion sont des fonctions données 
de l’arc est ramenée à l’intégration du système (B), 
^ _ ü _ 1 _ 
ds ç 
ds T c ’ 
d^_ _ 5 
ds t ’ 
s 
- v 
qui détermine les coordonnées instantanées des points fixes de 
l’espace en fonction de la variable indépendante s que nous 
avons choisie. 
Pour le démontrer, remarquons, en premier lieu, que si la 
courbe est connue les'équations (B) sont vérifiées par les coor¬ 
données de tous les points fixes de l’espace prises par rapport 
aux axes mobiles de la périmorpliie curviligne. 
9 e SÉRIE. — TOME III. 
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