DE LA DETERMINATION DES SURFACES. 
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Posons OP zz u — Y x 2 y 2 , et désignons l’angle uOx par 0. 
Le point M est déterminé par les coordonnées semi-polaires 
u, 6, z, et l’on a 
(1) x — u cos 6, y — u sin 9, z~ y(u), 
en représentant par z zz cp (u) la courbe AB rapportée aux deux 
axes O z et Ou. L’équation de la surface sera 
( 2 ) Z = y(Ÿx 2 + y 2 ) . 
2. Formons d’abord l’équation du plan tangent à la surface 
en M. Prenons l’équation générale des plans tangents 
, dz , , . dz , , 
(3) z - z =ôï {x - x)+ iï {v ~ v) - 
De l’équation (2) on déduit par la différentiation, en ayant égard 
aux relations (1), 
(4) 
dz ,, ^ du ,, . x . 
55 = tp(M) ^ = î(M) M = î(M)cos9 ’ 
dz 
dy 
g'(u) — zz c'(w) — zz o'(u) sin 0. 
dy u T 
Or, si l’on remplace x , y , z, 
(4), l’équation (3) devient 
dz 
dx 
dz 
dy 
par les expressions (1) et 
z' — <p(V) zz ÿ(u)(æ' — u cos 6) cos 6 -f- y'(u)(y' — u sin 0) sin 6, 
ou, en réduisant, 
z' — z(u) — x'<d'(u) cos 0 + sin 0 — u®'(u ). 
C’est l’équation du plan tangent à la surface (2) au point (x, y , z) ; 
nous la mettrons sous la forme 
x’ cos 0 -f y' sin 0 — 
'Y 
Aï 
?'(«) ■ 
3. Supposons maintenant que, dans les équations (t), u soit 
considéré comme une fonction de O déterminée par l’équation en 
