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MÉMOIRES. 
coordonnées polaires de la projection d’une quelconque des lignes 
cherchées sur le plan des xij. On obtient par la différentiation, en 
regardant 6 comme une variable indépendante, et écrivant, pour 
simplifier, 9, 9', 9" au lieu de 9 (u), <p'(w), y"(u) : 
dx — cos 0 dw — u sin 6 rfO, 
dy —$m§ du-\-u cos 0 e£0, 
cter zz <p'Æw, 
d 2 a? 1 = cos 0 d 2 w — 2 sin 0 du dQ — u cos 0 dO 2 , 
d 2 y — sin 0 d 2 u -f 2 cos Q dudb — u sin 0 d(J 2 , 
d 2 z — ÿd 2 u + 9" du 2 . 
On en déduit 
( 6 ) dy d 2 z — dz d 2 y 
zz (sin 6 du + u cos 0 dti) (v’d 2 u -j- 9" du 2 ) 
— 9 'du (sin 0 d 2 u + 2 cos 0 du dû — u sin 0 db 2 ) 
zz cos 0(u?'d 2 udb + u$"du 2 dü — 29 'du 2 dQ) 
+ sin 6 (9 "du 3 + u/du dd 2 ), 
% 
(7) dzd 2 x — dxd 2 z 
zz — (cos 0 du — u sin 0 dti) (ÿd 2 u -f du 2 ) 
4- 9 'du (cos 0 d 2 u — 2 sin 0 du db — u cos 0 db 2 ) 
zz sin O (ùy ’d 2 ud§ + uy"du 2 dO — 2<?'du 2 db) 
— cos 0(9 "du* -f- uy'dudQ 2 ), 
( 8 ) dxd 2 y — dyd 2 x 
zz (cos 0 du—u sin 0 dd) (sin 0 d 2 u -\-2 cos 0 du dü—u sin 0 db 2 ) 
—(sin 0 du-\-u cos 0 e?0)(cos 0 d 2 u~ 2 sin §dud §—w cos 0 rf0 2 ) 
=z — udïudti -f- 2 $w 2 $0 -f d 2 diï. ' 
4 . Cela posé, le plan osculateur de la courbe ayant pour 
équation 
{x i — x) (dy d 2 z — dz d 2 y) + ( 2/1 — 2/) (cter <2 2 a? — dx d 2 z) 
+ (zi — z) (dx d 2 y — dy d 2 x) zz 0, 
