DE LA DÉTERMINATION DES SURFACES. 301 
Or on abaisse d’une unité l’ordre de l’équation différentielle (11) 
. db ,, , d 2 0 d- 
en posant —— = t, d ou —- z= — , et 1 on a 
du du 2 du 
(7t 
U —— uï(u) — + [u i "(u) — 2<p 
Mi = ç"(w) -f- Us'(u)x 2 , 
N, zz w + 2 t + m 2 t 3 . 
du 
On trouve alors pour transformée une équation différentielle 
du premier ordre, savoir : 
(12) cos a) 
- u[i+ f-(u)\ |L + j u ? '(u)f(u) - 2[t + ? ' 2 («)] 
~ /l + ? ' 2 (w) /l, 2 + M, 2 + N, 2 
6. Les lignes géodésiques correspondent au cas où to ~ ^, 
ce qui conduit à annuler le numérateur de l’expression de cos w 
donnée par l’équation (12); on obtient ainsi l’équation différen¬ 
tielle 
(13) _ m[ 1 + ? ' 2 ( M )]|1 
+ | wtp'(w)s"(w) — 2[l+tf' 2 (M)] | x — m 2 t 3 ~ 0, 
qui est une équation de Bernouilli. 
On l’intègre par un nouveau changement de variable en posant 
y-i ,, , dx 1 -I dÇ 
x — l -, d ou — =z — - Ç — 
du 2 du 
Il vient 
+ j «î'(M)î"(M) - 2 [1 + ÿ ' 2 (m)] S ; f - uK 2 
o, 
ce qui peut s’écrire 
+ 2 
9W-/W _ 2 
J + 9' 2 (w) w. 
y 
T 
2w 
1 + î' 2 (w) 
= 0 
