DE LA DÉTERMINATION DES SURFACES. 
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C’est une équation à laquelle on arrive aussi, comme on sait, 
par d’autres méthodes. On voit donc que la détermination de B 
en fonction de u se trouve ramenée à une quadrature. On remar¬ 
quera d’ailleurs que la constante arbitraire C, qui entre dans 
l’équation (15), doit être positive pour que 6 soit réel; elle est 
censée représenter l’inverse du carré d’une ligne. " 
§ II. 
7. Par ce qui précède, il est démontré que la recherche des 
lignes géodésiques d’une surface de révolution, dont la courbe 
méridienne est connue, se ramène aux quadratures; mais tel 
n’est point l’objet principal du présent travail. Il s’agit de déter¬ 
miner la surface par la condition qu’elle ait une ligne géodésique 
située sur une sphère donnée dont l’équation sera 
(16) (x — a) 2 + {y — p) 2 + (z — y) 2 ht R 2 , 
en même temps qu’elle aura pour axe de révolution une droite 
donnée qu’on prendra pour axe des z. On en conclura, par cela 
seul que la surface est de révolution, l’existence d’un groupe de 
lignes géodésiques sphériques. 
L’inconnue est la fonction <p(w) qui détermine la surface de 
révolution. Or, si l’on remplace a?, y , z respectivement par 
u cos 0, u sin 6, ç(w), l’équation (16) devient 
{u cos 6 — a) 2 + (u sin 6 — p) 2 + [<p(w) —- y] 2 = R 2 , 
ou, en développant, 
u 2 — 2u (x cos 6 + P sin 6) -j- y 2 (u) — 2yç(w) + a 2 -f- p 2 -f v 2 — R 2 , 
d'où 
(17) a cos 9-f- psinôzz [? 2 ( w )“'2Y?M+^ 2 +a 2 -f P 2 4* Y 2 —R 2 ]- 
Ja u 
C’est l’équation en coordonnées polaires w et 9 de la projection 
sur le plan des œy de la section de la surface cherchée par la 
sphère (16). 
