DE LA DÉTERMINATION DES SURFACES. 305 
Exprimons <p'(w) en fonction de U et u. L’équation (18), mise 
sous la forme 
[c(u) — T P + u 2 + a 2 + p* — R 2 = 2U, 
donne 
(22) ? (m) — f =: ± /2U —w 2 + R 2 —a 2 —g 2 , 
d’où, en différentiant, 
t '(«) 
du 
du 
— w 
Y 2U — u 1 + R 2 — a 2 — g 2 
On trouve enfin, en substituant cette expression de £'(u) dans 
(21), l’équation 
u 
(23) wV+p 2 ) — U 2 = 
dU 
du 
— U) (C^ 2 —1)(2U— u*+R 2 — a 2 — £ 2 ) 
(S- m )+ 2 u - m 2 +r 2 -* 2 -p s 
C’est une équation différentielle du premier ordre à laquelle doit 
satisfaire la fonction U ; d’ailleurs la fonction cherchée ç(w) se 
déduira de U au moyen de la relation (22). 
8. L’intégration de l’équation (23), dans le cas où la constante 
C est quelconque, paraît offrir de grandes difficultés; mais on 
verra qu’on peut toujours en obtenir une intégrale particulière. 
Admettons qu’on ait trouvé une solution de l’équation (23) ; 
désignons-la par U = t| >(u). On a vu au n° 7 que la combinaison 
de l’équation de la surface de révolution avec celle de la sphère 
donnée conduit à la relation 
„ . U 
a cos 0 + p sin 6 = — ; 
si l’on remplace U par û(u). cette relation devient 
Mu) 
a cos 0 + P sin 0 = ; 
c’est l’équation en coordonnées polaires de la projection de la 
ligne géodésique sphérique sur le plan des xy. La même ligne, 
rapportée aux deux axes Ox et O y, aurait pour équation 
ax + $y — (Ÿ x 2 -f y 2 ) . 
9 e SÉRIE. 
TOME III. 
20 
