DE LA DÉTERMINATION DES SURFACES. 307 
et par la substitution de cette dernière expression l’équation 
différentielle devient 
[nu 2 — ü 2 -f u 2 (1 — C u 2 ) (2U — u 2 + m)] — u'j 
(24) l + 2m(w 2 — U)(l — Cw 2 )(2U — u* + m) m) 
+ (ntt 2 — U 2 ) (2U —u- + m) 
+ (m 2 —U) 2 (l — Cw 2 )(2U — u 2 + m) = 0. 
Résolvons-la par rapport à —- m. On trouve que la quan- 
ClZv 
tité soumise au radical, contenu dans les deux valeurs de cette 
expression, est 
u 2 {u 2 — U) 2 (1 — Cm 2 ) 2 (2U — u 1 + mf 
—[nu 2 — U 2 + u 2 {\—C u 2 ) (2U— u 2J r m)] [{nu 2 — U 2 ) (2U — u 2 -\- m) 
+ (u 2 — U) 2 (l — Cu 2 ) (2U— u 2 -\-m )~\, 
ou, en réduisant, 
• 
— {nu 2 — U 2 ) (2U — u 2 -\- m) [nu 2 — U 2 + u 2 (1 — C^ 2 ) (2U — u 2 + m) 
■+(1 — Cu 2 ) {u 2 — U) 2 ] 
=z — {nu 2 — U 2 ) (2U — u 2 + m) [nu 2 — U 2 -f (1 — Cu 2 ) {mu 2 -f U 2 )] 
= — u 2 {nu 2 — P 2 ) (2U — u 2 -f m) [m + n — C {mu 2 + U 2 )]. 
Par suite, les racines de l'équation (24) seront données par la 
formule 
dV 
[nu 2 — U 2 + u 2 { 1 — Cu 2 ) (2U — u 2 ± m)] 
du 
— u\ 
— — u{u 2 — U) (1 — Cu 2 ) (2U — u 2 + m) 
± u Y (ww' J — u 2 ) (2 U — v? + m) [0 (w ! + U 2 ) — R 2 ] ; 
on en tire 
//TT 
[nu 2 — U 2 + u 2 (1 — Cu 2 ) (2U — u 2 + m)\ — 
du 
— u{nu 2 — U 2 ) + uC (1 — Cu 2 ) (2U — u 2 + m) 
± u y (mm 2 — U 2 ) (2U — m 2 + m) [C(»« ! + U 2 ) — R 2 ] , 
équation qui détermine — en fonction explicite de U et u. 
du 
