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ou encore 
MÉMOIRES. 
w 2 [(ï' — ï) 8 + a 2 + g 2 — R 2 ] = — R'V. 
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On tombe donc sur une identité, en vertu de la condition (25). 
Concluons de là que l’expression 
U = ± (r'—ï) /r' 2 — u 1 
est une solution de l’équation différentielle (23), pourvu qu’on y 
joigne la condition 
(ï'— T) 2 + R' 2 — R 2 -f a 2 + (3 2 = 0 , 
et qu’on prenne pour C la valeur 
R 2 —R' 2 
Toutefois, on 
R / 2 (y / — y ) 2 
n’obtient ainsi qu’une intégrale particulière; car, des deux para¬ 
mètres Y et R' contenus dans l’expression du U, un seul reste 
arbitraire, tandis que la solution générale devrait contenir deux 
constantes arbitraires, à savoir : la constante C et celle amenée 
par l’intégration de l’équation (23). 
A la valeur précédente de U correspond une surface de révo¬ 
lution dont on forme aisément l’équation. On a, en effet, 
c b{u) — — /R ' 2 — % 2 ? 
équation qui devient, en remplaçant cp (u) par z et u 1 par 
a* 2 + y 2 , 
z zz y'± /r' 2 — oc 2 — y 2 , ou x 2 + y 2 + {z — y') 2 — R’ 2 5 
ce qui montre que la surface est une sphère ayant son centre 
sur l’axe des z. Comme les paramètres y' et R' ne sont assujettis 
qu’à une seule condition, il y aura une infinité de sphères satis¬ 
faisant à la question. 
On peut, au reste, le vérifier facilement. Les équations de la 
sphère donnée et de la nouvelle sphère étant 
{oc - a) 2 + (y - p) 2 + (z- y) 2 = R 2 , 
oc~ y 2 {z — y') 3 z=R' 2 , 
il vient, en les retranchant membre à membre, 
' 2 — cl 2 — £ 2 — Y 2 zz R' 2 R 2 . 
2 a* + 2 $y + 2(v — Y)z + t 
