DE LA DÉTERMINATION DES SURFACES. 313 
lignes géodésiques. Mais on voit que, pour que ces sections exis¬ 
tent, deux conditions sont nécessaires, savoir : 
a 2 -f g 2 > h 2 > a 2 + P 2 — R 2 ; 
si on les suppose satisfaites, le paramètre U reste arbitraire. 
Il fallait au reste s’attendre à trouver le tore comme surface 
répondant à la question. En effet, coupons la sphère donnée par 
deux plans passant par l’axe Oz et faisant des angles égaux avec 
plan qui passe par Oz et par le centre de la sphère. Les deux 
sections qui en résultent sont deux petits cercles égaux. Or, si 
nous faisons tourner l’un de ces petits cercles autour de Oz, nous 
formerons un tore qui contiendra évidemment l’autre petit cercle. 
Ces deux cercles sont des lignes géodésiques du tore, puisque ce 
sont des courbes méridiennes; on a par conséquent une surface 
de révolution ayant pour axe Oz et qui est coupée par la sphère 
donnée suivant deux lignes géodésiques. 
Réciproquement, un tore étant donné, il est facile de cons¬ 
truire une sphère qui le coupe suivant deux lignes géodésiques. 
Car, si Ton prend deux cercles méridiens du tore, et que par 
leurs centres on mène des perpendiculaires à leurs plans, ces 
perpendiculaires se rencontreront en un point également distant 
de tous les points de l’une et l’autre circonférence, en sorte que 
ce point sera le’centre d’une sphère passant par les deux cercles 
et qui coupera le tore suivant deux courbes méridiennes. 
12 . Considérons le cas où la sphère donnée aurait son centre 
sur l’axe des et prenons ce centre pour origine des coordon¬ 
nées. Comme l’équation de la sphère est 
æ 2 + y 2 + = R 2 , 
celle d’un grand cercle dont le plan passe par Oz et qu’on rap • 
porte aux deux axes rectangulaires Oz et Ou sera 
u 2 + z % = R 2 . 
Prenons sur ce grand cercle un point particulier M ayant pour 
coordonnées z = a, uzz.1)-, les constantes a et b seront liées par 
la relation 
a 2 + b 2 = R 2 . 
Soit P la projection du point M sur l’axe Oz. 
