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MÉMOIRES. 
Faisons passer par le point M une courbe quelconque située 
dans le plan du grand cercle et dont la tangente en ce point soit 
perpendiculaire à la droite MP; prenons-la pour méridienne 
d’une surface de révolution ayant Oz pour axe. Le parallèle de 
celte surface passant au point M est une ligne géodésique, puis¬ 
que son rayon MP est évidemment perpendiculaire au plan tan¬ 
gent en M. Comme ce parallèle est en outre situé sur la sphère 
donnée, il en faut conclure que la surface ainsi construite répond 
à la question. 
Posons 
o(u) — a + (u — &) ty(u ). 
m étant un nombre positif moindre que l’unité, et ty(u) une fonc¬ 
tion de u qui n’est ni nulle ni infinie pour u ~ &, nous pouvons 
admettre que la surface précédente a pour équation 
z zz a + {Yx 2 + V 2 — ô) m ^ (Ÿoc 2 + y 2 ) ; 
car, pour u 
>, on a z 
= a et 
dz 
du 
oo , c’est-à-dire que la 
méridienne représentée par l’équation z — cp (u) passe en M et a 
pour tangente en ce point une parallèle à l’axe des z. 
On remarquera que la méthode générale n’est point applicable 
au cas que nous venons de considérer. En effet, lorsque a, p, y 
sont nuis, la relation dont nous nous sommes servi au n° 7, 
(u cos 0 — a) 2 + (u sin 6 — p) 2 -j- [cp (u) — y] 2 = R 2 , 
devient 
u 2 + f(u) = R 2 , 
de sorte qu’elle est indépendante de 0. Or la méthode suppose 
qu’on puisse la différentier par rapport à 0, et par conséquent 
elle est en défaut. 
Il faut encore remarquer que les paramètres a, p n’entrent 
dans l’équation différentielle (23) et dans l’expression de U que 
par la somme a 2 -f- fi 2 . On en conclut que la surface de révolu¬ 
tion restera la même, si l’on fait varier ces paramètres en lais¬ 
sant constante la somme de leurs carrés et conservant les memes 
