DE LA DÉTERMINATION DES SURFACES. 315 
valeurs à y et R. Mais alors on aura une série de sphères de 
même rayon qui toutes couperont la même surface de révolution 
suivant des lignes géodésiques; le lieu de leurs centres sera un 
cercle ayant son centre sur Oz et dont le rayon est égal à la 
valeur constante de Y a 2 -f- (3 2 . 
Au reste, ce résultat s’aperçoit a priori; car, par cela seul 
que la surface est de révolution, à une ligne géodésique sphérique 
correspond un groupe de lignes géodésiques qu’on obtient en 
faisant tourner la première autour de Oz, et de plus toutes ces 
lignes sont sphériques, mais situées sur des sphères de même 
rayon qui diffèrent par la position. 
13. Revenons au cas général et considérons une solution 
quelconque de l’équation différentielle (23) qui définit la fonction 
U. Cherchons l’angle sous lequel la sphère donnée coupe la sur¬ 
face ^ u z cp (y x 2 -\- y 2 ) , en chaque point de la ligne géodésique 
résultant de leur intersection. 
D’abord le plan tangent, au point (x, y, z), h la sphère 
(x — a) 2 -f {y — fO 2 -f (z — y) 2 — R 2 
a pour équation 
(x— a)(X — x) -h {y — [3) (Y — y) -f {z — y) (Z — z) =0, 
X, Y, Z étant les coordonnées courantes. En second lieu, nous 
avons vu (n° 2) que l’équation 
x' cos 0 -\-y r sin G — 
-g' _ ,. 
? '(U) ~ «'(W) 
est celle du plan tangent à la surface de révolution au même 
point. Donc l’angle de ces deux plans, qu’on désignera par G, 
sera déterminé par la formule 
(x — a) cos 0 (y — fi) sin G 
cos G 
t'(“) 
(g - ï) 
C 
0» — *) 2 + (y — O 2 + O — y) 2 \ i + 
/ 
