SUR QUELQUES CAS NOUVEAUX DE TAUTOCHRONISME. 367 
L’équation (1) est une équation différentielle du premier ordre 
entre les variables v et s; elle admet une intégrale contenant 
une constante arbitraire qu’on peut déterminer en exprimant 
que v est nul au point de départ, pour s — a, a désignant la 
distance au point O de la position initiale ; de sorte que l’équa¬ 
tion (1) définit une fonction de s et de a, soit 
V “ cp(s, a). 
Cherchons quelle doit être la forme de cette fonction o pour que 
le mouvement du point mobile soit tautochrone. On a, en dési¬ 
gnant par T le temps employé par le mobile pour arriver au 
point O, 
ds 
® (•?, a) * 
Il faut exprimer que T est indépendant de a. 
Nous suivrons la méthode que Puiseux a développée dans son 
beau mémoire sur les tautochrones ( Journal de Liouville, 1844, 
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tome IX , p. 415) et qui consiste à écrire que — est identique- 
ca 
ment nulle. Posons s ~ clu et l’intégrale précédente devient 
cl du 
cp(aw, a) ’ 
yr pi r 
-— — cp (a u, a) — clU 
J o L 1 
a) 
? (a U) 
c'a-(a U, a)' 
c'a 
a 
du 
cp 2 (a^, a) 
Pour que cette quantité soit identiquement nulle, il faut et il 
suffit que le crochet soit nul, car s’il n’était pas nul on pourrait 
donner à u des valeurs assez petites pour que ce crochet conserve 
/ 
toujours le même signe et l’intégrale serait différente de zéro. 
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La fonction cp doit donc satisfaire à l’équation aux dérivées par¬ 
tielles suivante : 
