SUR QUELQUES CAS NOUVEAUX DE TAUTOCHRONISME. 3G9 
Si m >> 1, on a bien v = 0 pour s = a et p = 0 pour 5 = 0. 
La durée du mouvement sera 
Il est à remarquer que pour m quelconque la force est fonction 
de s et de a; elle dépend de la position initiale du mobile, mais 
la durée du mouvement ou la valeur de T est indépendante de 
cette position initiale. Il est un cas, cependant, où p est indé¬ 
pendant de a ; il correspond km — 2 ; on a p — A 2 s. C’est le 
cas bien connu de la force proportionnelle à la distance. 
Examinons le cas particulier où p est fonction de s seulement. 
L’équation (1) donne 
a. a. s 
v 2 — 2 / pds = 2 f pds —■ 2 f pds , 
5 0 0 
V~ — 2[<p(a) — cp (s)]. 
Pour que v 2 ait la forme demandée, il faut nécessairement que 
cp( 5 ) = As 2 ; d’où 
p — 2A s . 
Ainsi, le cas dq la force proportionnelle à la distance est le 
seul qui fournisse un mouvement tautochrone avec une force 
> 
indépendante de la position initiale du mobile. 
Appliquons la méthode au cas où la force est une fonction 
linéaire et homogène de v et s : 
p — B5 -f Av. 
L’équation (1) devient : 
vdv + (B 5 + Av) ds — 0 ; 
elle est homogène et on l’intègre aisément. O 11 détermine la 
constante arbitraire en exprimant que v = 0 pour s — a, et on 
trouve : 
v est bien de la forme 
mouvement tautochrone. 
Donc le mouvement est bien un 
9 e SÉRIE. — TOME III. 
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