376 MÉMOIRES. 
On sait qu’une des formes de l’équation de la cycloïde est la 
suivante : 
-p z= 2 a sin (co — <p), 
ou bien 
ds 
d(ù 
— 2 a sin(o) 
ou 
ou 
s = — 2a cos (co — cp) 4- c , 
p = /4 a 2 — (c — s ) 2 . 
En remplaçant dans l’équation de la trajectoire, elle devient : 
a . ,/A_ A 2 . /s\ p Y 4a 2 — (c — s) 2 _ () 
\®/ j/"4.^2 ^^2 " * 2$ sin cp 
équation qui ne contient plus que la fonction y et la variable s 
et qui admet toujours une intégrale. ' 
Ainsi, la cycloïde est une courbe tautochrone dans le cas de la 
pesanteur, avec ou sans frottement. Mais il existe d’autres cour¬ 
bes que la cycloïde qui jouissent de cette propriété. 
Supprimons d’abord le frottement et posons 
En effectuant la substitution dans l’équation (9), on trouve ; 
ou 
( 10 ) 
3s 2 + pa cos co = 0, 
^ ds 
65 —— = pa sin io , 
aco 
_ pa si-n (o 
p — 6 s ’ 
4 
et le temps employé par le mobile pour parcourir l’arc a sera 
On aurait pu poser 
