378 MÉMOIRES. 
L’équation de la courbe entre les coordonnées r et s est : 
(U) A s 2 = f R dr + h. 
Dans le cas d’une force proportionnelle à la distance, R = 2mr, 
on trouve, comme on sait, une épicycloïde dont l’équation est : 
(15) . A s 2 ~ mr 2 + h . 
Comme dans le cas de la pesanteur, il est aisé de vérifier que 
la courbe (14) est encore tautochrone dans le cas où l’on tient 
compte du frottement. Si, en effet, dans l’équation (11) on rem¬ 
place p et a) par leurs valeurs en fonction de s tirées des équa¬ 
tions (13), (13 Ms) et (14), on aura une équation différentielle 
linéaire du premier ordre qui déterminera la forme de la fonction 
X et qui admettra toujours une intégrale. 
On peut donc dire d’une manière générale que, la force étant 
donnée, il y a une infinité de courbes tautochrones correspon¬ 
dantes à cette force, soit qu’on néglige le frottement, soit qu’on 
l’ajoute à la force. L’équation de ces courbes dépend en effet 
d’une fonction arbitraire qui satisfait cependant à certaines 
conditions qui ont été énoncées plus haut. La forme de cette 
fonction x donne la loi du mouvement sur la courbe, puisque 
l’on a 
On peut ajouter qu’une courbe qui est tautochrone lorsque 
l’on néglige le frottement est aussi tautochrone lorsqu’on l’ajoute 
à la force. Bien plus, on peut se donner arbitrairement une 
courbe quelconque, et si l’on remplace p et w dans l’équation (11) 
par leurs valeurs en fonction de s tirées de l’équation de la 
courbe, on aura pour déterminer la fonction arbitraire à intégrer 
une équation différentielle du premier ordre, qui admet toujours 
une solution avec une constante arbitraire qu’on déterminera de 
façon que la fonction soit nulle pour s =z a. 
La théorie précédente montre que la solution du problème des 
tautochrones, lorsque la force est une fonction de la distance à 
