BULLETINS DES TRAVAUX DE l’ACADEMIE. 595 
Pour en déduire le théorème de Sturm, il suffit évidemment 
de rechercher le nombre de racines d’une équation entière à 
coefficients réels qui sont comprises dans un contour rectangu¬ 
laire dont deux côtés soient parallèles à OX et situés de part et 
d’autre de cet axe à des distances infiniment petites. 
Telle est la solution développée dans la communication de 
M. Willotte. A l’aide de considérations infinitésimales, présen¬ 
tées avec vigueur et clarté, l’auteur établit que tout se réduit à 
calculer l’indice du rapport de la dérivée à la fonction lorsque la 
variable prend des valeurs réelles entre deux nombres a et o. Cet 
indice est négatif lorsqu’on suppose a moindre que o, mais sa 
valeur absolue est toujours au nombre des racines réelles de 
l’équation proposée comprise entre a et o, chacune d’elles n’étant 
comptée qu’une seule fois. 
Pour le calcul de cet indice, l’auteur du mémoire suit la 
méthode de Cauchy, telle qu’elle est exposée dans le bel ouvrage 
de Briot et Bouquet (Traité des fonctions elliptiques , 2 e édi¬ 
tion, 1875, pp. 26 et suivantes), et il parvient ainsi à démontrer 
assez facilement le Théorème de Sturm, soit dans le cas des 
racines simples, soit dans le cas des racines multiples. 
Je dois ajouter que la question dont s’est occupé M. Willotte a 
reçu un développement à peu près complet dans le cours de 
M. Hermite (voir le cours professé par M. Hermite pendant le 
2 e semestre 1881-82, rédaction de M. Àndoyer, pp. 124 à 129). 
L’illustre géomètre parvient rapidement à un résultat très géné¬ 
ral, d’où le théorème de Sturm se déduit sans difficulté. 
D’après l’exposé qui précède, le Mémoire qui nous a été pré¬ 
senté ne contient, soit comme résultat, soit comme point de vue, 
rien d’essentiellement nouveau. 11 n’en offre pas moins un réel 
intérêt, grâce surtout à l’élégance et à la solidité de son exposi¬ 
tion, qui lui permettront de figurer, sans aucun désavantage, à 
côté des productions justement estimées dont Despeyrous a enri¬ 
chi de nombreux recueils scientifiques. 
C’est pourquoi j’ai l’honneur de proposer à l’Académie : 
1° D’ordonner l’impression dans nos Mémoires de la note qui 
fait l’objet du présent rapport; 
2° De remercier M. Willotte du sentiment auquel il a obéi en 
nous faisant connaître l’oeuvre d’un confrère dont la mémoire est 
particulièrement honorée parmi nous, et de lui adresser nos féli- 
