5. La relation de courbure qui existe entre (C) et (C') est très 
simple. Pour l’obtenir, nous établirons d’abord quelques for¬ 
mules préliminaires. 
Si, au point M, on désigne par p la distance de l’origine à la 
tangente et par p le rayon de courbure, on a 
1 dp 
o rd r 
i 
Mais p = r sin u ; donc 
1 
P 
sin u . dr -+- r.d sin u sin u 
r dr r 
d sin u 
Soit, en M', n la portion de la normale comprise entre ce 
point et l’axe des .r, et p' le rayon de courbure. On a évidem¬ 
ment 
1 si n co I d sin co 
n y ?' dy 
* 
Cela posé, les points M et M' étant correspondants, on peut 
écrire : 
sin co d sin w 
sin a d sin u 
- -H -1 
r d r 
c’est-à-dire, en tenant compte des trois formules qui viennent 
d’être établies : 
1 I i 
.(9) 
Telle est la relation qui existe entre les courbures des 
lignes (C) et (C'). Ainsi : 
Propriété III. — La différence des courbures en deux points 
O Cette formule a été donnée, avec une autre démonstration, par 
M. Wasteels, dans le numéro de mars 1887 du journal Mathesis. 
