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§ IV. 
Application de la transformation à la théorie des roulettes. 
13 . La propriété du n° 8 nous met en mesure de résoudre 
les deux problèmes suivants : 
Problème I. — Étant données, dans un plan, une courbe (Cj et 
une droite quelconque (A), on demande de trouver une courbe (C") 
dont le roulement sur la base (A) fasse décrire la ligne (G') à un 
point convenablement choisi dans son plan. 
Soit 
f\y, w ) = o 
l’équation de la courbe (G'), les axes étant rectangulaires et (A) 
étant prise pour axe des x. La courbe (C), dont la transformée 
est (C'), a pour équation 
f(r,v) = 0 . 
On en déduira, par l’intégration, son équation en coordon¬ 
nées polaires, savoir : 
r — F(0). 
Cela posé, d’après la construction du n° 8, l’antipodaire de 
cette courbe, par rapport à l’origine, sera la roulante (C") 
cherchée. 
Il suit des considérations précédentes que : 
Toute courbe est une roulette, la base étant une droite quel¬ 
conque de son plan (*). 
Problème IL — On demande de déterminer la trajectoire (G'} 
décrite par un point 0, invariablement lié à une courbe (G"), 
lorsque cette courbe roule sur une base rectiligne (A). 
(*) Dans une Noie sur la théorie des roulettes (N. A. M., 1856, p. 102), 
M. E. Catalan a démontré cette proposition plus générale : Toute courbe 
est une roulette, la base étant une ligne quelconque de son plan. 
