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En vertu d’une remarque faite, en note, au bas de la page 13, 
la roulante (C") aura une équation de même forme, c’est-à-dire 
qu’elle sera une spirale logarithmique. Donc : 
Si une spirale logarithmique roule sur une droite, son point 
asymptotique décrit également une droite (*). 
17. Parabole. — Nous prendrons comme base l’axe de la 
courbe. En exprimant que la sous-normale est égale à une 
constante a , on a 
, ?y clg co=o. 
La courbe (C) a donc pour équation : 
rdd 
r = a (g u = a -» 
° dr 
ou, en intégrant, 
r = aO -+- const. 
La roulante sera l’antipodaire de cette courbe par rapport 
à l’origine. D’ailleurs, par un choix convenable de l’axe polaire, 
on peut supposer nulle la constante ci-dessus. On a donc ce 
théorème : 
Si Von fait rouler, sur une droite, Vantipodaire d'une spirale 
d’A rchimède, par rapport à son pôle, ce point décrit une parabole 
admettant pour axe la base du roulement. 
La parabole étant la transformée de la spirale d’Archimède, 
la Propriété I permet d’énoncer ce théorème de Roberval : 
L’arc de la spirale d’Archimède r = a9, compté depuis le 
pôle jusqu’au rayon vecteur r, est égal à l’arc de la parabole 
y-= 2 ax, compté depuis le sommet jusqu’au point (Tordonnée r. 
La Propriété IV donne le théorème suivant : 
Le lieu du pôle d’une spirale cl’Archimède qui roule sur une 
parabole est Vaxe de cette parabole. On suppose qu’à l’origine du 
mouvement il y avait coïncidence du pôle de la spirale et du 
sommet de la parabole. 
O Ce théorème a été démontré par M. E. Catalan dans l’article cité. 
