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L’équation (16) prend alors cette forme définitive : 
1 
6 = - nrc siii 
9 
9 
r -+- c 
r 
a 
l/c* — a 1 
arc (g 
r -h a 1 a 2 — c — r 2 
i 2 
c — a a 
,.2 
C 
2° Si la valeur absolue de c est inférieure à a 2 , m et n sont 
de signes contraires, et 
(- 
fl z 
1 
J m -+- n 
As 
V~- 
Arg Tli z 
nui 
n 
m 
L’équation (16) devient donc, dans ce cas, 
1 r- c 
0 = - arc sin - 
a 
2 
K - 
--■ ArgThy A*-*- r 
— C* V __ 
9 2 
c — r 
(1 
c -+- ? 
,.2 
Nous pouvons, dès lors, énoncer ce théorème : 
Si l’on fait rouler, sur une- droite, l’antipodaire de l’une des 
courbes (17 ) ou (18), par rapport à l’origine, ce point décrira la 
courbe élastique la plus générale. 
Corollaire. Dans l’équation (18), supposons nulle la con¬ 
stante c. Cette équation prendra la forme simple 
1 . 7 2 , 
0 = — arc sin — ou r 2 = u 2 sin 20. 
2 a 2 
« 
On reconnaît là une lemniscate dont le point double coïncide 
avec l’origine. Son antipodaire, par rapport au point O, est 
une hyperbole équilatère de centre 0. On a donc cette pro¬ 
priété reconnue par Sturm (*) : 
Le lieu du centre d’une hyperbole équilatère qui roule sans 
glisser sur une droite est une courbe élastique. 
(*) Journal de Liouville, 1841, p. 315. 
