La division harmonique (AA'BB'), reste donc constamment 
A B' 
semblable à elle-même, ce qui montre que le rapport ou 
OA • ** 
son égal est constant. Les rayons OA, OA' sont d’ailleurs 
également inclinés sur OS', ce qui démontre la propriété. 
L’identité des deux définitions étant établie, un grand 
nombre des résultats obtenus par M. Tarry, se présentent plus 
naturellement et sans difficulté. 
Nous allons maintenant rechercher la propriété dont jouis¬ 
sent les couples de points AA', BB', ... qui représentent dans 
le système de M. Mouchot, des points de la droite définie par 
von Staudt. 
Soient K et H les milieux des segments AA', BB'. Les droites 
AB, AB', KH, AA', BB' sont tangentes à une même parabole, 
et les deux involutions (AA', Koo) (BB', Hoo), situées sur les 
tangentes AA', BB', sont projetées du point 0 suivant la même 
involution. Donc, si du point C pris sur la droite AB, on 
mène une tangente à cette parabole, elle coupe les droites HK 
et A'B' en deux points L et C', tels que (CLC'oo ) est un groupe 
représentatif d’un point de la droite imaginaire, et (CG') est la 
représentation de ce point dans le système de M. Mouchot. 
Par conséquent, si un point A du couple AA' décrit une droite, le 
point A' décrit aussi une droite, et les deux ponctuelles sont sem¬ 
blables. 
Si l’une de ces droites est le rayon OA, l’autre est le rayon 
conjugué dans l’involution, et la droite AA' reste parallèle à 
elle-même. Par conséquent : 
Les figures décrites par les points A et A', se correspondent 
dans deux systèmes plans projectifs superposés , dans lesquels le 
point 0 et la droite de l’infini sont les éléments doubles. Les points 
correspondants décrivent sur la droite de Vinfini, deux ponc¬ 
tuelles involutives. 
Ces considérations montrent l’intérêt que l’on a à s’inspirer 
des idées de von Staudt, dans les recherches sur les imagi- 
ginaires. 
