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Une involntion possède deux éléments doubles réels ou ima¬ 
ginaires conjugués. Si Vinvolution est sur une conique , les 
éléments doubles sont situés sur la polaire de Vinvolution , et les 
tangentes en ces points passent par le pôle de Vinvolution. 
5. Les tangentes aux points imaginaires correspondants 
(ABCD) et (A,B 1 C 1 D 1 ) se coupent sur la polaire s de l’involution; 
si ces points sont imaginaires conjugués, leurs tangentes ont 
pour support le pôle P de l’involution (AC, BD). Mais la 
polaire p de cette involution passe par le point S; le point P 
est donc sur la droite s. Dans le cas contraire, ces tangentes 
ont pour groupes représentatifs P (abcd) et Mais 
les droites P a et P^ se coupent sur s ; donc cette droite est le 
support du point commun aux tangentes P (abcd) et P x [ajb^clô. 
6. Réciproquement, les points de contact des tangentes 
imaginaires menées des points d’une droite s , font partie de 
l’involution ayant cette droite pour polaire. Car si le point 
d’où l’on mène les tangentes est réel, la corde des contacts 
passe par S; s’il est imaginaire, les supports P et P* des. 
tangentes sont correspondants dans l’homologie (S, s ), ainsi 
que leurs polaires p et p t . Soit (XYZU) le groupe représentatif 
du point imaginaire considéré sur s, PX et P,X sont deux 
droites homologues et rencontrent respectivement les droites p 
et p u en deux points a et a t alignés sur S; donc les points de 
contact des tangentes sont en ligne droite avec S, et ils se 
correspondent dans l’involution (S). On peut donc dire d’une 
manière générale : Les droites issues d'un point réel S, déter¬ 
minent sur une conique des couples de points en involution. Les 
points de contact des tangentes menées des points d'une droite 
réelle s, forment une involution. 
7. Une involution orthogonale représente deux droites ima¬ 
ginaires conjuguées, auxquelles on a donné le nom de droites 
isotropes. Les involutions orthogonales ayant pour support les 
différents points du plan, déterminent sur la droite de l’infini 
